[반도체 기초] 에너지 밴드 -1

 

 

목차

 

 

 

반도체를 이해하는 가장 기본이 되는 에너지밴드 이론에 대해 알아보겠습니다.

 

 

보어의 가설과 파울리의 배타율

보어의 가설은 핵 주위를 도는 전자는 궤도길이 2πr의 정수 배일 때만 특정 궤도에서 돈다는 가설입니다. 즉 전자는 어떤 임의의 궤도에서 회전하고 있는데, 그 임의의 궤도와 다음 궤도 사이에서는 전자가 위치할 수 없고 특정 궤도에서만 전자가 돌 수 있다는 것이 보어의 가설입니다.

 

파울리의 배타율은 전자계에서 어느 두 전자도 동일한 양자 상태에 있을 수 없다는 것입니다. 이해를 돕기 위해 예를 들어 설명하자면, 특정 시간에 한 사람만 앉을 수 있는 특정 의자가 있습니다. 그 의자에는 현재 A라는 한 사람만이 않아 있을 수 있습니다. 내일에는 다른 사람이 앉을 수 있지만 지금 이 시간에는 한 의자에 A를 제외한 누구도 앉을 수 없습니다. 

 

다시 말하면 같은 시간에 두 사람이 한 의자에 앉을 수는 없다는 것입니다. 즉, 동일한 양자상태라고 하는 것은 전자가 위치할 수 있는 자리인 한 양자에 전자들이 동시에 있을 수 없다는 것입니다. 전자는 각자 다른 시간에 다른 위치에 있어야 된다는 의미입니다. 

 

두 가설은 물리학적으로 더 복잡한 개념이지만 간단하게 정리했습니다. 이 두 가지 가설을 바탕으로 에너지밴드 이야기를 해보도록 하겠습니다.

 

 

 

에너지밴드 구조

만약에 원자 하나가 있으면 보어의 가설에 의해 핵과 핵 주위를 특정 궤도에서 도는 전자가 존재하게 됩니다. 

 

실리콘은 원자 번호가 14인 4족에 속한 원소입니다. 4족에 속해 있기 때문에 최외각에 4개의 전자가 돌고 있고 안쪽에는 10개의 전자가 도는 모양입니다.

 

그런데, 이러한 원자가 모여 고체가 되면 고체는 원자 1개로 이루어진 것이 아닌 무수히 많은 원자들이 모인 상태가 되기 때문에 고체는 보통 N-atoms system이라고 할 수 있습니다.

 

2개의 원자를 예를 들어 설명하겠습니다.

원자핵이 하나 있고, 또 다른 원자핵이 옆에 있습니다. 그러면 서로 영향을 미치는 상호작용이 일어나는 영역이 바깥 궤도부터 생기게 됩니다. 

 

 

고체의 에너지대

 

 

 

좀 더 입체적으로 보기 위해 에너지대 차원에서의 그림으로 보겠습니다. 왼쪽은 고립상태로 원자 1개가 존재하는 그림입니다. 고립원자의 경우 핵이 있고, 핵 주변에 제일 가까운 곳에서부터 최외각 위치까지 에너지대가 형성되어 있습니다. 

 

고립원자가 고체가 되면 바로 옆의 그림과 같이 또 하나의 원자가 있어서 최외각 궤도의 에너지대에서는 중첩이 일어나는 영역이 생깁니다. 여기서 핵과 핵의 거리는 원자 간의 거리인 Lattice constant라고 합니다. 

 

여기서 B와 B'은 핵에서 제일 가까운 위치에 있는 원자의 궤도에 있는 전자입니다. 분명히 두개는 에너지대가 서로 연결되어 있지 않고 나누어져 있습니다. 이렇게 나누어져 있기 때문에 서로 다른 상태로 이름은 같지만 고립상태와 동일하게 따로 존재할 수 있는 자리가 됩니다.

 

반면 최외각 궤도의 A와 A'은 핵에서 제일 바깥 궤도에서 도는 전자의 위치인데 에너지대에 상호작용이 일어나서 서로 연결되어 있습니다.

 

이러면 A와 A'의 자리는 두 가지로 존재할 수 없습니다.

 

파울리의 배타율에 의해서 같은 양자상태를 취할 수 없다는 의미입니다.

이와 같이 상호작용은 바깥쪽 궤도의 에너지대 부터 일어납니다. 

 

상호작용이 일어나게 되면 파울리의 배타율을 만족하면서 모든 전자를 수용하기 위해 에너지대가 여러 개로 분리됩니다. 이것을 우리는 band split 현상이라고 합니다.

 

 

Band split 현상

Band split 현상은 바깥쪽 궤도에서 먼저 발생하며, 그다음 원자와 원자 사이의 거리가 짧을수록 활발히 일어납니다. 즉, 바깥쪽 궤도에서 상호작용이 없다면 아래쪽 궤도는 상호작용이 일어날 수가 없습니다. 아래쪽 궤도에서 상호작용이 일어났다면 그 위쪽 궤도는 모두 상호작용이 일어나는 것입니다.

 

Band split  현상은 원자 2개가 상호작용을 일으키면 하나의 에너지대가 2개로 분리가 됩니다. 따라서 n 개의 원자들이 상호작용을 일으켰다면 하나의 에너지대는 n 개의 에너지대로 분리가 됩니다.

 

고체는 무수히 많은 원자가 상호작용을 일으킨다고 가정한다면, 특정 에너지대는 무수히 많은 에너지대로 나눠지게 되는 것입니다.

 

이렇게 특정 영역이 무수히 많이 나눠진다면 그 자체는 라인이 아니라 밴드가 형성됩니다. 아래 그래프에서 x 축은 원자 간의 거리이고, y 축은 에너지대입니다. 

 

고립상태에서는 원자 간의 거리가 무한대이기 때문에 원자 간의 상호작용이 없습니다. 따라서 모든 괘도가 하나의 에너지 라인만 존재합니다. 

 

반대로 원자가 많이 존재할 경우, 원자와 원자 사이의 거리가 점점 좁아질수록 높은 에너지대부터 상호작용이 일어나게 됩니다. 즉, 상호작용이 일어나는 위쪽부터 band split 현상이 일어납니다.

 

원자의 개수가 2개면 두 가닥, n개면 n 가닥으로 특정 영역이 나눠지며 밴드가 형성됩니다. 

 

 

Band Split

 

 

 

주어진 그림에서 원자 간 거리 r이 rb인 순간에서 빨간색을 칠한 영역이 보입니다. 빨간색을 칠하지 않은 영역은 궤도와 궤도 사이인 전자가 위치할 수 없는 영역입니다. 반대로 빨간색을 칠한 영역은 전자가 위치하는 영역입니다. 

 

밴드가 형성된 상태에서도 마찬가지로 반도체의 에너지밴드는 빨간색 영역으로 전자가 위치할 수 있는 대역이라고 해서 허용대라고 합니다. 반대로 전자가 위치할 수 없는 대역은 금지대라고 합니다.

 

고체의 에너지대, 특히 반도체의 에너지대는 허용대와 금지대가 교대로 존재합니다. 전자가 올 수 있는 허용대가 있으면 그다음은 금지대가 나타나고, 금지대가 있으면 그 다음은 허용대가 나타나서 서로 교대로 존재합니다.

 

결국 에너지 준위는 원자 수만큼 분리돼서 하나의 연속적인 밴드로 표시되는 것이 에너지밴드 이론이 됩니다.

 

다음에는 허용대와 금지대에 대하여 자세하게 알아보겠습니다.

 

 

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